Peržiūrėti šaltinį Šredingerio lygtis

'''Šredingerio lygtis''' yra pagrindinė [[Kvantinė mechanika|kvantinės mechanikos]] [[lygtis]], aprašanti [[kvantas|kvantinių dalelių]] elgesį. Šią lygtį [[1926]] m. pasiūlė austrų fizikas [[Ervinas Šriodingeris]]. Bendru atveju ji užrašoma taip:

: <math> \hat{H} \psi (\vec{r}, t) = i \hbar {\partial\over\partial t} \psi(\vec{r}, t)=-{\hbar^2\over 2\mu}{\partial^2  \psi (\vec{r}, t)\over \partial \vec{r}^2}+V(\vec{r})</math>

Čia <math> \hat{H} </math> yra dalelės [[Hamiltonianas (kvantinė mechanika)|hamiltonianas]], t. y. energijos [[Operatoriai kvantinėje mechanikoje|operatorius]], o <math> \psi(\vec{r}, t) </math> – dalelės [[banginė funkcija]], <math>V(\vec{r})</math> - [[potencinė energija]], <math>\mu</math> - apytiksliai elektrono masė, <math>\hbar</math> - [[planko konstanta|mažoji planko konstanta]], ''i'' - [[menamasis vienetas]]. Lygtis sprendžiama banginės funkcijos atžvilgiu, radus ją galime pilnai aprašyti nagrinėjamą dalelę. Būtent dėl to ši lygtis kartais vadinama [[Niutono dėsniai|antrojo Niutono dėsnio]] analogu kvantiniame pasaulyje.
Šredingerio lygtis yra vienas iš kvantinės mechanikos [[postulatas|postulatų]] – ją galima užrašyti tik pasirėmus įvairiais samprotavimais apie banginę dalelių prigimtį, griežto jos išvedimo nėra.

== Bendroji Šredingerio lygtis ==
Nereliatyvistinėje kvantinėje mechanikoje hamiltonianas yra tiesiog [[Kinetinė energija|kinetinės]] ir [[Potencinė energija|potencinės]] energijų suma. Tokiu atveju Šredingerio lygtis atrodo taip:

: <math> \left[ -\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 + U(\vec{r},t) \right] \psi (\vec{r}, t) = i \hbar {\partial\over\partial t} \psi(\vec{r}, t)=E\psi(\vec{r}, t) </math> 

Čia <math> \nabla^2 </math> yra [[laplasianas]], o <math> U(\vec{r},t)</math> – sistemos [[potencinė energija]].
Kaip matyti, ši lygtis yra antrojo laipsnio dalinių išvestinių [[diferencialinė lygtis]], taigi ją išspręsti analize pasiseka tik labai paprastais atvejais, pvz., [[Vandenilis|vandenilio]] [[atomas]] laisvoje erdvėje.
[[Reliatyvumo teorija|Reliatyvistinėje]] kvantinėje mechanikoje energijos operatorius pakeičiamas reliatyvistinės energijos išraiška ir taip gaunama vadinamoji [[Dirako lygtis]]. Ši lygtis jau įskaito dalelės [[Sukinys|sukinį]].

== Stacionarioji Šredingerio lygtis ==
Jei nagrinėjama sistema yra stacionari, t. y. sistemos hamiltonianas išreikštai nepriklauso nuo laiko <math>t</math>, galime ieškoti bendrosios Šredingerio lygties sprendinio, kaip laikinės ir koordinatinės priklausomybės funkcijų [[daugyba|sandaugos]]:

: <math> \psi( \vec{r}, t) = \Phi(\vec{r}) A(t) </math> 

Iš čia gauname [[Tikrinių verčių lygtis|tikrinių verčių lygtį]] funkcijai <math>\Phi(\vec{r})</math>:

: <math> \hat{H} \Phi (\vec{r}) = E \Phi(\vec{r}) </math>,

bei <math>A(t)</math> sprendinį, su kuriuo [[banginė funkcija]] atrodo taip:

: <math>\psi (\vec{r}, t) = e ^{-\frac{i}{\hbar}Et} \Phi(\vec{r}) </math>.

Čia <math>E</math> yra hamiltoniano [[tikrinė vertė]] – dalelės energija. Kai sistema yra apribota, pvz., [[elektronas]] [[Atomo branduolys|atomo branduolio]] lauke, [[Tikrinių verčių lygtis|tikrinių verčių]] [[spektras]] yra diskretinis, t. y. gauname [[energijos lygmuo|lygmenų]] kvantavimą. Taip paaiškinamas diskretus vandenilio atomo spektras.

Įrodysime, kad <math>\Psi(x, t)=e^{i(px-Et)}</math> yra šredingerio lygites <math> i\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{1}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} </math> sprendinys. Kur <math>p=mv</math> yra [[Judesio kiekis|momentas]], ''E'' - [[energija]], ''m'' - [[masė]], ''i'' - [[menamasis vienetas]].
: <math> i\frac{\partial (e^{i(px-Et)})}{\partial t} = -\frac{1}{2m} \frac{\partial^2 (e^{i(px-Et)})}{\partial x^2}; </math>
: <math> i\cdot (-iE) e^{i(px-Et)}= -\frac{(ip)^2}{2m} e^{i(px-Et)}; </math>
: <math> E = \frac{p^2}{2m}={(mv)^2\over 2m}={mv^2\over 2}. </math>
Gavome [[kinetinė energija|kinetinės energijos]] formulę, kuri įrodo, kad Šrėdingerio lygtis išspresta teisingai. ''x'' yra koordinatė vienmatėje erdvėje (nejudanti), o ''t'' yra laikas ir taip kvantinė dalelė aprašoma bangine funkcija.

== Taip pat skaitykite ==
* [[Operatoriai kvantinėje mechanikoje]]
* [[Hamiltonianas (kvantinė mechanika)|Hamiltonianas]]
* [[Vandeniliškasis atomas]]

== Nuorodos ==
* http://www2.kutl.kyushu-u.ac.jp/seminar/MicroWorld2_E/2Part1_E/2P13_E/Schroedinger_eq_E.htm
* http://galileo.phys.virginia.edu/classes/751.mf1i.fall02/HydrogenAtom.htm
* http://spiff.rit.edu/classes/phys315/lectures/lect_5/lect_5.html
* http://www.physik.fu-berlin.de/~pascual/Vorlesung/SS06/Slides/AMOL-L1d.pdf
* http://submit.library.lt/ETD-afiles/VPU/etd-LABT20050616-161557-72803/unrestricted/Atomo_orbitaliu_grafinis_vaizdavimas.pdf
* http://faraday.uwyo.edu/~yurid/QM/Lecture%2011.pdf

[[Kategorija:Kvantinė mechanika]]