Peržiūrėti šaltinį Grupė (algebra)

'''Grupės''' – paprasčiausia algebrinė struktūra, [[aibė]], apibrėžiama vienintele binarine [[operacija]] (vidinės [[kompozicijos dėsnis|kompozicijos dėsniu]]), tenkinančia tam tikras [[aksioma]]s. Grupes ir jų savybes nagrinėja [[algebra|algebros]] mokslo šaka [[grupių teorija]].

Grupės apibrėžimą tenkina dauguma nagrinėtų matematinių struktūrų. Pavyzdžiui, grupės [[sudėtis|sudėties]] atžvilgiu yra [[sveikasis skaičius|sveikųjų]], [[racionalusis skaičius|racionaliųjų]], [[realusis skaičius|realiųjų]] ir [[kompleksinis skaičius|kompleksinių]] skaičių aibės, grupės [[daugyba|daugybos]] atžvilgiu yra racionalieji skaičiai (be 0), realieji ir kompleksiniai skaičiai.

Grupės plačiai naudojamos [[matematika|matematikoje]], kituose tiksliuosiuose moksluose, [[inžinerija|inžinerijoje]]. Pavyzdžiui, grupės naudojamos tiriant reliatyvumą, [[kvantinė mechanika|kvantinę mechaniką]], [[dalelių fizika|dalelių fiziką]], taip pat grupėmis išreikštos [[geometrija|geometrinės]] transformacijos naudojamos [[chemija|chemijoje]], [[Kompiuterinė grafika|kompiuterinėje grafikoje]].

== Savybės ==
Elementų aibė <math>G</math> vadinama grupe jai apibrėžto aibės elementų kompozicijos dėsnio <math>*</math> atžvilgiu, jei tenkina šias savybes:
;Uždarumas: Bet kokiems ''a'', ''b'' <math>G</math> grupės elementams, kompozicijos <math>*</math> rezultatas ''a'' * ''b'' irgi priklauso tai grupei <math>G</math>.
;Asociatyvumas: Dėsnis <math>*</math> yra [[asociatyvumas|asociatyvus]], t. y. <math>(g_1 * g_2) * g_3 = g_1 * (g_2 * g_3)</math>, bet kokiems grupės <math>G</math> elementams <math>g_1, g_2, g_3</math>
;Vienetinis elementas: Egzistuoja neutralus elementas <math>e</math> (dar vadinamas grupės vienetu), su kuriuo teisinga lygybė <math>e * g = g * e = g</math>
;Atvirkštinis elementas: Kiekvienam elementui egzistuoja simetrinis elementas kompozicijos dėsnio atžvilgiu (dar vadinamas atvirkštiniu elementu), t. y. <math>g * g^{-1} = g^{-1} * g = e</math> (''g'' – bet kuris grupės elementas, <math>g^{-1}</math> – simetrinis elementas iš tos pačios grupės.

=== Abelio grupė ===
Jeigu kompozicijos dėsnis <math>*</math> yra [[komutatyvumas|komutatyvus]], t. y. bet kokiems dviem grupės elementams <math>a,b</math> galioja sąryšis <math>a*b=b*a</math>, tokia algebrinė struktūra vadinama '''Abelio grupe'''.

== Pogrupiai ==
Grupės pogrupiu vadinami tokie grupės ''G'' poaibiai ''H'', kurie tenkina savybes:
* bet kurių dviejų poaibio H elementų sandauga priklauso H;
* kiekvienam poaibio H elementui atvirkštinis elementas priklauso H.
Kiekvienas šias savybes tenkinantis pogrupis taip pat yra grupė.

Pavyzdžiui, racionalių skaičių aibė yra grupė sudėties atžvilgiu, o sveikųjų skaičių aibė yra šios grupės pogrupis.

[[Kategorija:Abstrakčioji algebra]]