Peržiūrėti šaltinį Koši-Rymano sąlygos

'''Koši–Rymano sąlygos''' tai dviejų [[Diferencialinė lygtis|diferencialinių lygčių]] dalinėmis [[išvestinė]]mis sistema, apibrėžianti [[Kompleksinis skaičius|kompleksinio]] kintamojo [[Holomorfinė funkcija|holomorfinę]] (arba kitais žodžiais - [[Analizinė funkcija|analizinę]]) funkciją. Šią lygčių sistemą pirmą kartą užrašė [[Žanas Leronas Dalamberas]] [[1752]] metais. Kiek vėliau, [[1797]] metais, [[Leonardas Oileris]] susiejo šią sistemą su [[analizinė funkcija|analizinėmis funkcijomis]]. [[1814]] metais [[Koši]] panaudojo jas konstruodamas savo funkcijų teoriją. [[1851]] metais šios lygtys buvo panaudotos ir [[Rymanas|Rymano]] disertacijoje vystant funkcijų teorijos pagrindus.

Koši-Rymano sąlygos tai yra dviejų diferencialinių lygčių sistema susiejanti kompleksinės funkcijos {{nowrap|1=''f''(''x'' + i''y'') = ''u''(''x'',''y'') + i''v''(''x'',''y'')}} realiąją ''u''(''x'',''y'') ir menamąją ''v''(''x'',''y'') dalis:
{|
|-
|(1a){{spaces|4}}||<math>\dfrac{ \partial u }{ \partial x } = \dfrac{ \partial v }{ \partial y }</math>
|-
|(1b){{spaces|4}}||<math>\dfrac{ \partial u }{ \partial y } = -\dfrac{ \partial v }{ \partial x }</math>
|}

=== Geometrinė Koši-Rymano sąlygų prasmė ===
Tarus, kad ''u''(''x'',''y'') ir ''v''(''x'',''y'') yra tam tikros kreivių šeimos, Koši-Rymano sąlygos atitinka konforminio atvaizdo apibrėžimui ([[Konforminė funkcija|konforminės funkcijos]] tai yra tokios funkcijos, kurios nekeičia [[Kampas|kampų]] tarp kreivių ''u'' ir ''v'').

=== Kompleksinis diferencijavimas ===
Tarkime, kad

: <math> f(z) = u(z) + i \cdot v(z) </math>

yra kompleksinio kintamojo ''z'' funkcija.  Tuomet funkcijos ''f'' išvestinę taške ''z''<sub>0</sub> apibrėšime kaip ribą:

: <math>\lim_{\underset{h\in\mathbf{C}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = f'(z_0)</math>

Jei ši riba egzistuoja, ją galime skaičiuoti išilgai realiosios arba išilgai menamosios ašies. Abiem atvejais tikėtumėmės kad jos turi sutapti. Taigi, artėdami prie jos išilgai realiosios ašies gausime:

:<math>\lim_{\underset{h\in\mathbf{R}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0).</math>

O artėdami prie jos išilgai menamosios ašies gauname:

:<math>\lim_{\underset{h\in \mathbf{R}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih} =\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}(z_0).</math>

''f'' išvestinių lygybė išilgai abiejų ašių duoda mums kitokią Koši-Rymano sąlygų formuluotę:

:<math>i\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(z_0),</math>

=== Fizikinė interpretacija ===
Tarkime, kad ''u'' ir ''v'' tenkina Koši-Rymano sąlygas ir gali būti užrašytos kaip [[vektorius]]

:<math>\bar{f} = \begin{bmatrix}u\\ -v\end{bmatrix}</math>

Tuomet Koši-Rymano sąlyga (1b) teigia, kad <math>\bar{f}</math> yra besūkurinis laukas (jo [[Rotorius (matematika)|rotorius]] lygus 0):

:<math>\frac{\partial (-v)}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = 0.</math>

Koši-Rymano sąlyga (1a) teigia, kad <math>\bar{f}</math> yra solenoidinis laukas (jo [[divergencija]] lygi 0):

:<math>\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial (-v)}{\partial y}=0.</math>

Kitais žodiais tariant, toks laukas yra be sūkurių, šaltinių ir sankaupų.

=== Trigonometrinė forma ===
Užrašant kompleksinę funkciją trigonometrinėje formoje {{nowrap|''z'' {{=}} ''r''&thinsp;''e''<sup>iθ</sup>}}, Koši-Rymano sąlygos bus

:<math>{ \partial u \over \partial r } = {1 \over r}{ \partial v \over \partial \theta},\quad{ \partial v \over \partial r } = -{1 \over r}{ \partial u \over \partial \theta}.</math>

Arba tai gali būti pateikiama viena lygtimi dėl ''f'' išvestinės:

:<math>{\partial f \over \partial r} = {1 \over i r}{\partial f \over \partial \theta}.</math>

== Šaltiniai ==
*{{citation|first=Lars|last=Ahlfors|authorlink=Lars Ahlfors|title=Complex analysis|publisher=McGraw Hill|year=1953|publication-date=1979|edition=3rd|isbn=0-07-000657-1}}.
*{{citation|first=J.|last=d'Alembert|authorlink=Jean le Rond d'Alembert|title=Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides|url=http://gallica2.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k206036b.modeAffichageimage.f1.langFR.vignettesnaviguer|publication-place=Paris|year=1752}}.
*{{citation|first=A.L.|last=Cauchy|authorlink=Augustin Cauchy|title=Mémoire sur les intégrales définies, |series=Oeuvres complètes Ser. 1|volume=1|publication-place=Paris|year=1814|publication-date=1882|pages=319–506}}
* {{citation|url=http://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:119883|last=Chanson|first=H.|year=2007|title=Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange." ('Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution.')|journal=Journal La Houille Blanche|volume=5|pages=127&ndash;131|doi=10.1051/lhb:2007072|issn=0018-6368}}.
* {{citation|last=Dieudonné|first=Jean Alexander|authorlink=Jean Dieudonné|title=Foundations of modern analysis|publisher=Academic Press|year=1969}}.
*{{citation|first=L.|last=Euler|authorlink=Leonhard Euler|journal=Nova Acta Acad. Sci. Petrop.|volume=10|year=1797|pages=3–19}}
*{{citation|title=When is a Function that Satisfies the Cauchy&ndash;Riemann Equations Analytic?|first1=J. D.|last1=Gray|first2=S. A.|last2=Morris|journal=The American Mathematical Monthly|volume=85|number=4|year=1978|publication-date=April 1978|pages=246&ndash;256|jstor=2321164}}.
*{{citation|first=H.|last=Looman|title=Über die Cauchy&ndash;Riemannschen Differeitalgleichungen|journal=Göttinger Nachrichten|year=1923|pages=97&ndash;108}}.
* {{citation|last1=Pólya|first1=George|authorlink1=George Pólya|last2=Szegő|first2=Gábor|title=Problems and theorems in analysis I|publisher=Springer|year=1978|isbn=3-540-63640-4}}
*{{citation|last=Riemann|first=B.|authorlink=Bernhard Riemann|contribution=Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse|editor=H. Weber|title=Riemann's gesammelte math. Werke|publisher=Dover|publication-date=1953|pages=3–48|year=1851}}
* {{citation|last=Rudin|first=Walter|authorlink=Walter Rudin|title=Real and complex analysis|year=1966|publisher=McGraw Hill|publication-date=1987|edition=3rd|isbn=0-07-054234-1}}.
* {{springer|last=Solomentsev|first=E.D.|title=Cauchy–Riemann conditions|id=c/c020970|year=2001}}
* {{citation|last1=Stewart|first1=Ian|last2=Tall|first2=David|authorlink=Ian Stewart (mathematician)|title=Complex Analysis|year=1983|publisher=CUP|publication-date=1984|edition=1st|isbn=0-521-28763-4}}.

== Nuorodos ==
* [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/CauchyRiemannMod.html Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews]

[[Kategorija:Kompleksinė analizė]]