Peržiūrėti šaltinį Lotkos–Volteros lygtys

{{gcheck}}
'''Lotkos–Volteros lygtys''' (dar žinomos kaip '''plėšrūno–aukos lygtys''') – pirmos eilės netiesinių diferencialinių lygčių sistema, sudaryta iš dviejų lygčių, vaizduojanti biologines sistemas, kuriose sąveikauja dvi rūšys: [[plėšrūnas]] ir [[auka (biologija)|auka]]. Lygtys įtraukia ir laiką:

: <math>\frac{dx}{dt} = x(\alpha - \beta y)</math>

: <math>\frac{dy}{dt} = - y(\gamma - \delta  x)</math>

kur

* ''x'' yra aukos (pvz., [[kiškiai|kiškių]]) populiacijos dydis;
* ''y'' yra plėšrūno (pvz., [[lapė|lapių]]) populiacijos dydis;
* <math>\frac{dy}{dt}</math> ir <math>\frac{dx}{dt}</math> nusako dviejų populiacijų dydžių kitimą laikui bėgant;
* ''t'' – laikas;
* ''&alpha;'', ''&beta;'', ''&gamma;'' ir ''&delta;'' yra [[parametras|parametrai]], atspindintys sąveiką tarp dviejų [[Rūšis|rūšių]].

== Prielaidos ==
Lotkos–Volteros modelis padaro keletą prielaidų apie plėšrūno ir aukos aplinką ir evoliuciją:
# Auka randa aplinkoje gausiai maisto.
# Plėšrūno maisto kiekis priklauso tik nuo aukos populiacijos dydžio.
# Populiacijos kitimo greitis yra proporcingas jos dydžiui.
# Per sąveiką aplinka nesikeičia ir genetinė rūšių adaptacija yra lėta.

=== Auka ===

Aukos lygtis:

: <math>\frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta x y.</math>

Auka turi neribotus maisto išteklius ir nesant plėšrūno dauginasi eksponentiškai; šis eksponentinis augimas yra lygtyje aprašomas ''&alpha; x''. Plėšrūnavimo greitis yra laikomas proporcingu plėšrūno ir aukos susitikimo santykiui; tai aprašo ''&beta; xy''. Jeigu ''x'' arba ''y'' lygūs nuliui, tada negali būti plėšrūnavimo.

Su šiais teiginiais viršuje galima interpretuoti, kad aukos kitimas priklauso nuo savo dauginimosi minus nužudytų aukų skaičius.

=== Plėšrūnas ===

Plėšrūno lygtis:

: <math>\frac{dy}{dt} = \delta xy - \gamma y.</math>

Šioje lygtyje ''&delta; xy'' vaizduoja plėšrūno populiacijos augimą. (Panašu į plėšrūnavimo greitį; tačiau kita konstanta yra naudojama kai greitis, kuriuo plėšrūno populiacija auga, yra nebūtinai lygus greičiui, kai žudoma auka). ''&gamma; y'' reiškia plėšrūno mažėjimą dėl natūralios mirties arba emigracijos; tai veda iki eksponentinio sunykimo nesant aukai.

Taigi lygtis vaizduoja plėšrūno populiacijos kitimą, kai yra maisto ir minus natūrali mirtis.

== Lygties sprendiniai ==
Lygtys turi periodinius sprendinius ir neturi paprasto išreiškimo naudojant įprastas trigonometrines funkcijas.

== Sistemos dinamika ==

=== Populiacijos pusiausvyra ===

Populiacija yra pusiausvyroje, kai nei viena iš populiacijų nesikeičia, t. y. abi išvestinės yra lygios nuliui:

: <math>x(\alpha - \beta y) = 0\,</math>

: <math>-y(\gamma - \delta  x) = 0\,</math>

Išsprendus ''x'' ir ''y'' viršutinei sistemai, gauname

: <math>\left\{ y = 0  ,  x = 0 \right\}\,</math>

ir

: <math>\left\{ y = \frac{\alpha}{\beta}, x = \frac{\gamma}{\delta} \right\},\,</math>

Vadinasi yra pusiausvyra.

Pirmas sprendinys vaizduoja abiejų rūšių išnykimą. Antras sprendinys vaizduoja stacionarų tašką, kur abi populiacijos palaiko savo dabartinę būseną. Kada bus pasiekta pusiausvyra priklauso nuo parametrų α, β, γ ir δ.

=== Stabilumas ir stacionarūs taškai ===

Plėšrūno-aukos modelio [[Jakobiano matrica]]:

: <math>J(x,y) = \begin{bmatrix} 
\alpha - \beta y & -\beta x \\
\delta y & \delta x - \gamma \\
\end{bmatrix}.</math>

[[Kategorija:Diferencialinės lygtys]]
[[Kategorija:Populiacijos modeliai]]