Peržiūrėti šaltinį Oilerio charakteristika

[[Matematika|Matematikoje]], ypač algebrinėje topologijoje ir briaunainių kombinatorikoje, '''Oilerio charakteristika''' (arba '''Euler&#x2013;Poincaré charakteristika''') yra topologinis invariantas, skaičius, nusakantis topologinės erdvės pavidalą arba struktūrą, nepriklausomai nuo jos sulenkimo būdo. Šį dydį įprasta žymėti graikų kalbos mažąja raide „chi“ <math> \chi </math>.

Pirmiausia Oilerio charakteristika buvo nustatyta [[Briaunainis|briaunainiams]] ir buvo naudojama įvairių teoremų, susijusių su briaunainias, įrodymams, įskaitant [[Platono kūnai|Platono kūnų]] skaičių. [[Leonhard Euler|Leonhardas Euleris]], kurio vardu ir vadinama aptariama savybė, daug prisidėjo prie šių pradinių tyrimų. Modernioje matematikoje Oilerio charakteristika kildinama iš homologijos, o abstrakti jos formuluotė pateikiama homologinėje algebroje.

== Briaunainiai ==
'''Oilerio charakteristika '''<math>\chi</math> buvo pirmiausia apibrėžta briaunainių paviršiui ir jos pradinis pavidalas buvo toks:
:<math>\chi=V-E+F \,\!</math>
kur ''V'', ''E'' ir ''F'' atitinkamai yra konkretaus briaunainio viršūnių (kampų), briaunų ir sienų skaičius. Bet kurio iškilojo btiaunainio paviršiaus Oilerio savybės reikšmė yra 2:
:<math>V - E + F = 2. \,\!</math>
Šią lygybę priimta vadinti '''briaunainio Oilerio formule'''.<ref>Richeson 2008</ref> Jos reikšmė atitinka Oilerio charakteristiką [[Rutulys|rutuliui]]  (χ = 2) ir visiškai tokią pat reikšmę turi visi ''sferiniai briaunainiai''. Kaip šią savybę išreiškiančios formulės elementai susiję su kai kuriais briaunainiais galima susipažinti žemiau pateiktose lentelėse.
{| style="margin-bottom: 10px;" class="wikitable"

!Briaunainis
!Vaizdas
!Viršūnės<br>
''V''
!Briaunos<br>
''E''
!Sienos<br>
''F''
!Oilerio charakteristika<br>
''V'' - ''E'' + ''F''
|- align="center"
|[[Tetraedras]]
|[[Image:tetrahedron.png|50px]]
|4
|6
|4
|'''2'''
|- align="center"
|Heksaedras arba [[kubas]]
|[[Image:hexahedron.png|50px]]
|8
|12
|6
|'''2'''
|- align="center"
|[[Oktaedras]]
|[[Image:octahedron.png|50px]]
|6
|12
|8
|'''2'''
|- align="center"
|[[Dodekaedras]]
|[[Image:dodecahedron.png|50px]]
|20
|30
|12
|'''2'''
|- align="center"
|[[Ikosaedras]]
|[[Image:icosahedron.png|50px]]
|12
|30
|20
|'''2'''
|}
Neiškilių briaunainių paviršiai gali turėti įvairias Oilerio charakteristikos reikšmes:
{| class="wikitable"

!Briaunainis
!Vaizdas
!Viršūnės<br>
V
!Briaunos<br>
E
!Sienos<br>
F
!Oilerio charakteristika<br>
''V'' - ''E'' + ''F''
|- align="center"
|Tetrahemiheksaedras
|[[Image:Tetrahemihexahedron.png|100px]]
|6
|12
|7
|'''1'''
|- align="center"
|Oktahemioktaedras
|[[Image:Octahemioctahedron.png|100px]]
|12
|24
|12
|'''0'''
|- align="center"
|Kubohemioktaedras
|[[Image:Cubohemioctahedron.png|100px]]
|12
|24
|10
|'''&#x2212;2'''
|- align="center"
|Didysis ikosaedras
|[[Image:Great icosahedron.png|100px]]
|12
|30
|20
|'''2'''
|}
Taisyklingiems briaunainiams Arthur Cayley modifikavo Oilerio formulę panaudodamas politopo tankį <math>D</math>, [[Viršūnės planas|viršūnės plano]] tankį <math>d_v</math> ir sienos tankį <math>d_f</math>:
:<math>d_v V - E + d_f F = 2 D.</math>
Ši formulės modifikacija leidžia ją taikyti tiek iškiliems briaunainiams (kurių tankiai yra 1), tiek neiškiliems [[Kepler–Poinsot polyhedron|Keplerio-Poinsot briaunaniams]].

Visų projektuojamųjų briaunainių (klojinių) Oilerio savybė yra 1, kaip kiekvienos vienpusės plokštumos, o visų toroidinių briaunainių Oilerio savybės reikšmė yra 0, taip kaip [[Toras|toro]].

== Išnašos ==
{{Išnašos}}

[[Kategorija:Topologija]]