Peržiūrėti šaltinį Unitarioji matrica

'''Unitarioji matrica''' tai yra [[kompleksinis skaičius|kompleksinė]] kvadratinė [[matrica (matematika)|matrica]] ''U'', kurios kompleksiškai jungtinė ir transponuota matrica ''U''<sup>∗</sup> yra jai atvirkštinė.

::<math>U^* U = UU^* = I ,</math>

čia ''I'' yra [[Matrica (matematika)|vienetinė matrica]]. Fizikoje, [[Kvantinė mechanika|kvantinėje mechanikoje]] Ermitinė jungtinė matrica paprasta žymima durklo pavidalo simboliu [[†]]. Tuomet ankstesnė lygybė užrašoma

::<math>U^\dagger U = UU^\dagger = I .</math>

Unitariosios matricos analogas [[Realusis skaičius|realiųjų skaičių]] aibėje yra ortogonalioji matrica. Unitariosios matricos svarbios kvantinėje mechanikoje, kadangi nekeičia [[Vektoriaus norma|normos]].

==Savybės==
Baigtinio rango unitarioji matrica <math>U</math>:
*Bet kokiems dviems kompleksiniams [[vektorius|vektoriams]] <math>x</math> ir <math>y</math>, daugyba iš <math>U</math> nekeičia [[skaliarinė sandauga|skaliarinės sandaugos]]; tai yra, <math>Ux \cdot Uy=x \cdot y</math>.
*<math>U</math> yra normalioji matrica (<math>A^* A = AA^*</math>. Skirtingai nuo unitariosios matricos ši sandauga nebūtinai lygi vienetinei matricai)
*<math>U</math> yra diagonalizuojama matrica, tai yra <math>U</math> gali būti išskaidyta
::<math>U = VDV^*\;</math> 
:čia <math>V</math> yra unitarioji, o <math>D</math> yra diagonalioji ir kartu unitarioji matrica.
* <math>\left| \mathrm{det } (U) \right| = 1</math>.
* [[Tikrinių verčių lygtis|Tikriniai vektoriai]] visada ortogonalūs.
* <math>U</math> gali būti užrašyta ''U''&nbsp;=&nbsp;exp(''iH'')&nbsp;, kur <math>e</math> žymi matricos eksponentę, <math>i</math> yra [[menamasis vienetas]], o <math>H</math> yra [[Ermito matrica]].
Matricos <math>X</math> eksponentė gali būti parašyta:
::<math> \exp(X) = \sum_{k=0}^\infty \frac{X^k}{k!}. </math>
*Tiek unitariosios matricos stulpeliai, tiek eilutės sudaro ortonormuotą (ortogonalią ir normuotą) bazę.
*Matricos [[Tikrinių verčių lygtis|tikrinės vertės]] išsidėsčiusios ant vienetinio apskritimo.

Bet kokiam neneigiamam sveikam skaičiui ''n'', aibė visų ''n'' x ''n'' unitariųjų matricų daugybos atžvilgiu sudaro [[Grupė (algebra)|grupę]], vadinamą [[unitarioji grupė|unitariąja grupe]] U(''n'').

Jei unitariosios matricos <math>A </math> [[determinantas]] lygus vienetui, ji vadinama '''specialiąja unitariąja matrica'''.

[[Aibė]] visų specialiųjų unitariųjų matricų, kurių rangas <math>n </math> daugybos atžvilgiu sudaro specialiąją unitariąją grupę, žymimą <math>SU(n)</math>. Grupės <math>SU(2)</math> ir <math>SU(3)</math> vaidina svarbų vaidmenį kvantinėje mechanikoje ir [[Elementarioji dalelė|elementariųjų dalelių]] fizikoje.

[[Kategorija:Matricos]]